Lo spazio vettoriale di vvvv è (un'approssimazione numerica verso) R3, uno spazio euclideo tridimensionale di numeri reali. Un vvvvettore sarà quindi un insieme di tre numeri (x, y, z) dello spazio vettoriale tridimensionale di vvvv formato da numeri reali di vvvv.

Rappresentazione

un vettore v può essere interpretato come:

direzione (x, y, z) e lunghezza |v|, verso, traslazione, connessione tra due punti (vedere Sottrazione), punto (se il vettore è un vettore applicato all'origine), forza, velocità, accelerazione...

come simbolo:
lettere, spesso in grassetto o sottolineate v

come tre numeri (x, y, z):
lo spazio vettoriale di vvvv (quindi spazio vvvvettoriale) è formato da tre direzioni ortogonali monodimensionali, gli assi x, y e z. Qualsiasi direzione che non sia parallela agli assi, può essere descritta come una combinazione lineare di tre direzioni (vettori) che siano parallele agli assi. Per combinazione lineare si intende, qui, la somma di tre vettori (vedere Somma). Per quanto riguarda la lunghezza di un vettore, i tre vettori (assi) n1, n2, n3 si stabilisce che misurino 1, in base ortonormale. Per formare tutti gli altri vettori su questa base, la lunghezza dei tre vettori di base viene scalata sui numeri (x, y, z), quindi i vettori vengono sommati tra loro:

v = x*n1 + y*n2 + z*n3 =

posto che i vettori n sono (1, 0, 0), (0, 1, 0) e (0, 0, 1) il risultato è:

v = ( 1*x, 0*x, 0*x ) + ( 0*y, 1*y, 0*y ) + ( 0*z, 0*z, 1*z ) =

= ( x, 0, 0 ) + ( 0, y, 0 ) + ( 0, 0, z ) = (x, y, z)

Operazioni

Valore Assoluto di un Vettore, |v| (Lunghezza)

Matematicamente

Un numero reale definito da:

|v| = |(x, y, z)| = sqrt( x² + y² + z² )

Usando un Nodo

Il nodo Normalize (3d). Dai primi tre pins in output si ottengono i vettori di x, y, z in base ortonormale (di lunghezza unitaria). Da Input Length, la lunghezza del vettore immesso in input. Moltiplicandoli tra loro con * (Value) si ottiene il vettore originale.

Prodotto di un Vettore per uno Scalare s

Matematicamente

Il prodotto è il prodotto di ciascun elemento del vettore per lo scalare.

v*s = ( x*s, y*s, z*s ) ( = s*v )

Usando un Nodo

* (Value)

Geometricamente

Scalando la lunghezza, la direzione è invariante, ma diventa negativa se lo scalare è negativo.

Risultato significativo:
|v*s| = |v|*|s|

Somma

Matematicamente

La somma di vettori consiste nel sommare gli elementi della stessa dimensione.

v + w = ( x, y, z ) + ( a, b, c ) =

= ( x + a, y + b, z + c ) ( = w + v )

Usando un Nodo

Add (Value)

Geometricamente

prendete un vettorev e sistemiamo l'origine del vettore w all'estremo del vettore v: il vettore che comincia dall'origine di v e termina all'estremo di w è il risultato della somme di v con w (o w con v; ah, la commutatività).

Sottrazione

Matematicamente

Per analogia con la somma la sottrazione è la sottrazione di elementi della stessa dimensione, in questo caso però v - w NON è w - v, bensì -(w - v).

v - w = ( x, y, z ) - ( a, b, c ) =

= ( x - a, y - b, z - c ) = - ( w - v )

Usando un Nodo

- (Value)

Geometricamente

Sistemiamo l'origine di v e w nello stesso punto. Ora il vettore tra l'estremo di w e l'estremo di v è il risultato della sottrazione di w da v. Per sottrarre v da w eseguiamo la stessa operazione, ma il vettore risultare andrà dall'estremo di v a quello di w (e qui non vale la commutatività).

Prodotto Scalare

Matematicamente

Tramite il prodotto di elementi della stessa dimensione e quindi la somma di tutti i risultati, oppure nello spazio euclideo il prodotto dei valori assoluti per il coseno dell'angolo phi tra due vettori.

v * w = ( x, y, z ) * ( a, b, c ) =

= x*a + y*b + z*c ( = w * v )

oppure:

v * w = ( x, y, z ) * ( a, b, c ) =

= |v| * |w| * cos(phi)

Usando un Nodo

* (3d Dot)

Geometricamente

Fate sì che le origini di v e w combacino; quindi la lunghezza di v viene moltiplicata per la lunghezza della proiezione di w su v ( o viceversa). Pur non essendo geometricamente interessante, è però possibile in questo modo calcolare l'angolo tra due vettori. Se il risultato è zero, allora i due vettori sono perpendicolari.

Angolo phi tra due Vettori

Matematicamente

Le due formule del prodotto scalere possono essere usate per ottenere il coseno di phi.

x*a + y*b + z*c = |v| * |w| * cos(phi)

cos(phi) = ( x*a + y*b + z*c ) / ( |v| * |w| )

Usando un Nodo

Usate un nodo * (Value) ed un nodo + (Value Spectral) per ottenere il prodotto scalare. Usate due nodi Normalize (3d Vector) per ottenere i valori assoluti (lunghezze) dai vettori e moltiplicateli con un altro nodo * (Value). Ora dividete il prodotto scalare per il prodotto delle varie lunghezze usando il nodo / (Value): ecco il coseno di phi. Il termine arccos(A) nel nodo Expr (Value) restituisce phi in radianti (da 0 a Pigreco - 3.14159265358979...).

Prodotto Vettoriale

Matematicamente

Il prodotto tra: la lunghezza di v e w, il seno dell'angolo phi tra v e w ed un'unità vettoren (lunghezza = 1) che sia perpendicolare a v E w.

v x w = ( x, y, z ) x ( a, b, c ) =

= |v| * |w| * sin(phi) * n

Nello spazio euclideo c'è una forma più semplice:

v x w = ( x, y, z ) x ( a, b, c ) =

= ( y*c - z*b, z*a - x*c, x*b - y*a )

Usando un Nodo

~ * (3d Cross)

Geometricamente

Un vettore che sia perpendicolare a v e w. Il valore della lunghezza è l'area di un parallelogramma avente v e w come lati.

Originally by tf

it.Matematica dei Vettori 3d

Definizione

Rappresentazione

Operazioni

Valore Assoluto di un Vettore, |v| (Lunghezza)

Matematicamente

Usando un Nodo

Prodotto di un Vettore per uno Scalare s

Matematicamente

Usando un Nodo

Geometricamente

Somma

Matematicamente

Usando un Nodo

Geometricamente

Sottrazione

Matematicamente

Usando un Nodo

Geometricamente

Prodotto Scalare

Matematicamente

Usando un Nodo

Geometricamente

Angolo phi tra due Vettori

Matematicamente

Usando un Nodo

Prodotto Vettoriale

Matematicamente

Usando un Nodo

Geometricamente

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